Définition d’un polygone

Un polygone est une ligne brisée fermée tracée sur une surface plane. À chaque sommet du polygone correspond un angle intérieur.

(La magnifique forteresse de Vauban) 

 Définitions

1) Définition d’un polygone convexe : polygone dont toutes les diagonales se trouvent dans sa région intérieure

ou polygone dont tous les angles intérieurs mesurent moins de 180°. Sinon, le polygone est dit concave.

(diagonale : tout segment reliant deux sommets non consécutifs.)

2) Définition d'un angle intérieur : angle formé par deux côtés adjacents du polygone.

3) Définition d'un angle au centre : angle formé par deux rayons (segments reliant un sommet du polygone à son centre)

4) définition d'un angle extérieur : angle formé d'un côté du polygone et du prolongement du côté adjacent

5) Définition d'un polygone régulier : polygone dont tous les angles intérieurs et tous les côtés sont isométriques

Somme des mesures des angles intérieurs dans un polygone

 Rappel : la somme des mesures des angles intérieurs dans un triangle est toujours 180°.

 En traçant toutes les diagonales possibles partant d’un même sommet, on divise le polygone en triangles. Or, chaque triangle vaut 180°. 

La somme des mesures des angles intérieurs dans un polygone est donc

(n – 2)•180°,

où n est le nombre de côtés du polygone

Mesure d’un angle intérieur dans un polygone régulier

Dans un polygone régulier, la mesure d’un angle intérieur est

Mesure d’un angle au centre dans un polygone régulier

Dans un polygone régulier, la mesure d’un angle au centre est

Les formules d'un coup d'oeil

Périmètre et aire d’un polygone régulier

Périmètre

La formule du périmètre est

P = nc

où n = nombre de côtés

et c = longueur d’un côté

Aire

Pour calculer l’aire d’un polygone régulier, on peut diviser ce polygone en triangles isocèles et isométriques entre eux.

Si on calcule l'aire d’un triangle, on fait

où c = la longueur du côté du polygone

et a = l’apothème (la hauteur du petit triangle).

On n’a qu’à multiplier cette aire par le nombre de triangles dans le polygone (on a autant de triangles que de côtés dans le polygone).

La formule de l’aire d’un polygone est donc

Note : pourquoi «apothème» et non «hauteur»? Parce que la vraie hauteur, c’est celle du polygone entier. On appelle apothème toute «fausse» hauteur…