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Probabilités : définitions et explications

A) Expérience aléatoire

Le calcul des probabilités sert à chiffrer la possibilité d’un événement aléatoire.

Définition

Un événement aléatoire est un événement dont le résultat dépend complètement du hasard.

Cela signifie qu’on ne peut pas influencer un événement aléatoire, sinon, ce n’est plus un événement aléatoire.

Par exemple, on a beau souffler sur des dés, réciter des incantations, on n’arrivera pas à influencer le résultat du dé. Quant aux billets de loterie, choisir des nombres signifiants pour vous (comme la date de naissance de votre mère ou le nombre de démérites que vous avez accumulés) ne vous fera pas plus gagner le gros lot que des nombres choisis au hasard.

Exercice : indiquez si l’expérience est aléatoire ou non.

  • Calculer le temps pris par la grande aiguille d’une horloge pour faire un tour complet.
  • Lancer une pièce de monnaie dont les deux faces sont identiques.
  • Demander à une élève rencontrée au hasard de nommer son émission préférée.
  • Observer le nombre d’heures d’ensoleillement au cours d’une journée.
  • Compter le nombre de personnes qui portent des lunettes dans la salle d’attente d’un optométriste.
  • Demander à une personne le jour de semaine de sa naissance.
  • Tirer une carte dans un jeu de 52 cartes à jouer.
  • Compter le nombre de pattes d’un éléphant.
  • Gagner une partie de tic-tac-toe.
  • Être hospitalisé d’ici un an si l’on est actuellement en bonne santé.
  •  

     

      B) Expérience aléatoire simple ou composée
    Définition

    Une expérience aléatoire qui se déroule en une seule étape est dite simple.

    Si on fait suivre plusieurs expériences aléatoires simples, on se retrouve donc avec plusieurs étapes.

    Définition

    Une expérience aléatoire qui se déroule en plusieurs étapes est dite composée.

    Un exemple d’expérience composée serait d’acheter un billet de 6/49 et un autre de Super 7. Il s’agit de 2 tirages séparés. Si vous achetez l’Extra en achetant un billet de Super 7, vous avez encore une expérience composée, car l’Extra n’est ni plus ni moins qu’une autre loterie.

    Exercice : dites si les expériences suivantes sont simples ou composées.

  • Lancer une pièce de monnaie une seule fois.
  • Tirer au hasard une des lettres du mot «hiver».
  • Piger deux lettres dans un jeu de Scrabble.
  • Choisir une entrée, un plat principal et un dessert à partir d’un menu.
  • Lancer 3 pièces de monnaie.
  • Former une combinaison de 3 chiffres sur un cadenas.
  • Obtenir une consonne en tirant au hasard une lettre du mot «société».
  • Tirer deux noms d’un chapeau contenant tous les noms des élèves d’une classe.
  • Attraper le bouquet de la mariée lors d’un mariage.
  •  

     

    C) Probabilité d’un résultat dans une expérience aléatoire simple

    Grosso modo, une probabilité est une comparaison, tout comme une fraction, un rapport ou un pourcentage. On compare le nombre de cas probables (le résultat qu’on veut voir arriver) sur le nombre total de cas possibles (l’ensemble des résultats qui pourraient arriver).

    Par exemple, la probabilité qu’un dé donne le résultat «6» est :

    P(6) =   

    1 cas probable  = 1/6
      6 cas possibles  

    Exercice : quelle est la probabilité...

  • qu’une personne choisie au hasard ait son anniversaire en février?
  • de tirer la lettre «g» dans le mot «Gargouille»?
  • de tirer une bille rose parmi 5 billes roses et 7 billes bleues?
  • qu’un bébé soit parmi les «bébés de l’année» (i.e. ceux nés le 1er janvier)?
  • de tirer un roi dans un jeu de cartes?
  • de tirer un chiffre pair dans une urne contenant des jetons numérotés de 0 à 9?
  • de tirer un chiffre supérieur à 7 dans la même urne?
  • de tirer un multiple de 3 dans cette urne?
  •  

     

    D) Expérience aléatoire composée : nombre de résultats
    Définition

    On appelle l’ensemble des résultats possibles «univers des possibles» et on le symbolise par la lettre grecque Ω (lire «oméga»).

    Dans le cas des résultats du dé, l’ensemble Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ce sont les seuls résultats possibles lorsqu’on lance un dé.

    Par contre, si l’on lance deux dés, on a plus de résultats possibles : les résultats possibles du premier sont {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ainsi que pour le deuxième.

     

     

    Il y a plusieurs façons de montrer les résultats combinés d’une expérience aléatoire composée.

      1.    une grille de résultats

    Reprenons le dernier exemple avec les deux dés (où, par exemple, le couple (1,5) signifie que le premier dé a donné le résultat «1» et le deuxième, le résultat «5»)

     

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1

    (1,1)

    (1,2)

    (1,3)

    (1,4)

    (1,5)

    (1,6)

    2

    (2,1)

    (2,2)

    (2,3)

    (2,4)

    (2,5)

    (2,6)

    3

    (3,1)

    (3,2)

    (3,3)

    (3,4)

    (3,5)

    (3,6)

    4

    (4,1)

    (4,2)

    (4,3)

    (4,4)

    (4,5)

    (4,6)

    5

    (5,1)

    (5,2)

    (5,3)

    (5,4)

    (5,5)

    (5,6)

    6

    (6,1)

    (6,2)

    (6,3)

    (6,4)

    (6,5)

    (6,6)

     

    Les résultats possibles sont donc Ω = {(1,1), (1,2) , (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}, ce qui se chiffre à 36 résultats possibles.

    2.    un diagramme de Venn

    Soit l’expérience qui consiste à prendre aléatoirement une boule de couleur rouge ou verte (possibilités {R,V}), et le résultat d’un dé (possibilités {1, 2, 3, 4, 5, 6}). En menant toutes les flèches possibles du premier résultat au deuxième, on peut dénombrer et nommer tous les résultats combinés possibles.

    Les résultats possibles sont donc Ω = {(R,1), (R,2), (R,3), (R,4), (R,5), (R,6), (V,1), (V,2), (V,3), (V,4), (V,5), (V,6)}, ce qui se chiffre à 12 résultats possibles.

     
      3.    un arbre

    Quand il y a plus de deux expériences aléatoires, l’arbre est le meilleur outil.

    Imaginons un jeu de cadavres exquis, où chaque participant doit dessiner une tête sur une feuille de papier, plier la feuille afin de cacher son dessin et la faire passer au voisin afin que celui-ci dessine un corps, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on déplie la feuille et qu’on voie un dessin cocasse représentant une tête de pirate sur un corps de ballerine avec des pattes d’autruche!

    Supposons donc qu’on ait le choix de dessiner un pirate, un joueur de hockey et une chanteuse populaire à la Christina Aguilera. Voici l’arbre des possibilités:

    Les résultats possibles sont donc Ω = {(tête de pirate, corps de pirate, jambes de pirate), (tête de pirate, corps de pirate, jambes de hockeyeur),etc...}, ce qui se chiffre à 27 résultats possibles.

     

     

    E) Quantification de la chance et règle de multiplication
    On remarque que, dans une expérience aléatoire composée, s’il existe m résultats possibles pour la première expérience et n résultats possibles pour la seconde, le nombre de résultats total sera m•n.

    Il faut cependant différencier les événements indépendants des événements dépendants.

    Événements indépendants

    Le résultat du 1er événement n'a aucune influence sur celui des événements suivants. Les possibilités se calculent donc séparément pour être ensuite multipliées.

    Exemple 1 : reprenons  l’expérience avec 2 dés. Le 1er dé a 6 possibilités et le 2e aussi. Les deux sont indépendants l'un de l'autre. Par conséquent, Ω contient 6•6=36 résultats possibles.

    Exemple 2 : dans celui des boules rouge ou verte et du dé, la couleur de la boule n'a aucune influence sur le résultat du dé. Ω consiste en 2•6=12 résultats possibles.

    Exemple 3 : enfin, dans celui des cadavres exquis, le fait qu'on ait dessiné une tête de pirate n'a aucune influence sur le choix du corps et des jambes. Ω contient donc 3•3•3=27 résultats possibles.

    Événements dépendants

    Il y a les arrangements (avec ordre) et les combinaisons (sans ordre). La façon d'énumérer les possibilités dépend du fait que l'ordre compte ou pas.

    Exemple : je veux choisir 2 élèves pour nettoyer la classe. Dans une classe de 32 élèves, j'ai 32 choix pour la première et 31 pour la deuxième. Le deuxième événement dépend, en effet, de qui j'ai pris comme première élève.

    Si je veux que la première lave le tableau et que la deuxième range tous les livres qui traînent partout (Grrr!), alors l'ordre est important et j'ai 32•31=992 possibilités.

    Si je veux juste que le travail soit fait, l'ordre n'est pas important et je dois diviser les 992 possibilités par le nombre de permutations avec ces 2 élèves, soit 2. En effet, choisir Aurélie, puis Amélie, ça reviendra au même que choisir d'abord Amélie , puis Aurélie. Je dois donc diviser 992 par 2 pour n'obtenir que 496 possibilités.

    Calcul des possibilités

    Il faut donc toujours se demander si :

    1) les événements sont indépendants;

    2) si l'ordre est important.

     

    NB : dans les 2 exemples précédents, p=2 et n=32.

     

     

    Exercice : donnez le nombre de résultats possibles dans les expériences aléatoires suivantes.

  • Le nombre de menus différents si la cafétéria offre 2 choix de soupes, 3 choix de plats principaux et 4 choix de desserts.
  • Le nombre de combinaisons possibles au 6/49.
  • Le nombre de combinaisons si on choisit une saison de l’année et un chiffre entre 1 et 5 (inclusivement).
  • Un chapeau contient 5 prénoms : Anna, Marie-Louise, Xin Yi, Sandrine et Sophia. Le premier nom tiré gagne un Ipod et le deuxième, un DVD.
  • Trois villes, A,B,C, sont reliées par des routes. Cinq routes relient A et B, quatre routes relient B et C et trois routes relient A et C. Combien de trajets possibles?
  • Le nombre d’ensembles si Diana possède 2 pantalons (un rose et un jean), 3 chandails (un vert, un blanc et un noir) et 2 chemisiers (un rose et un rouge).
  • Former une phrase avec un nom (Danielle, Maya, Stéphanie), un verbe (manger, prendre, briser) et un complément direct (pomme, coeur, fleur).
  • Le nombre de possibilités qu’avait Mme Simard pour le sexe de ses trois enfants.
  • Le nombre de combinaisons gagnantes possibles dans un jeu de bingo avec les 5 lettres du mot «Bingo» et les nombres 1 à 14 pour la lettre «B», les nombres 15 à 28 pour la lettre «I», les nombres 29 à 42 pour la lettre «N», les nombres 43 à 56 pour la lettre «G» et enfin les nombres 57 à 70 pour la lettre «O».
  • On veut choisir deux solistes dans une chorale de 8 chanteurs.
  •  
     

     

     
    F) Probabilité d’un résultat dans une expérience aléatoire à plusieurs étapes
    Définition

    Des événements qui ont la même chance de se produire sont dits équiprobables

    Lorsque des événements sont équiprobables, on n’a qu’à répartir les probabilités entre les différents résultats possibles.

    Problème :

    Dans une école, les groupes d’élèves de deuxième secondaire sont formés de façon aléatoire. Il y a 4 enseignants de français et 4 de mathématique. Chacun enseigne à 4 groupes d’élèves. Quelle est la probabilité que Sandra et son amie aient toutes les deux les mêmes enseignants en français et en mathématique?

    Il y a 16 couples d’enseignants possibles. Sandra et son amie ont donc 1 chance sur 16 d’avoir les mêmes enseignants. La probabilité est donc

    P(avoir les mêmes enseignants) = 1/16.

    On remarque que P(avoir le même enseignant en français) =1/4 et P(avoir le même enseignant en maths) =1/4.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    On constate donc qu’on peut multiplier 2 probabilités d’événements indépendants pour obtenir la probabilité de ces 2 événements combinés :

    P(avoir les mêmes enseignants)

    = P(le même enseignant de français) • P(le même enseignant de maths)

    = ¼ • ¼

    = 1/16

     

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