Gabrielle s'amuse à faire ces formes à l'aide de boutons.

Comment trouver la réponse? Il faut d'abord trouver la règle...

Toutes les suites arithmétiques ont une régularité qu'on peut trouver en calculant quel est le saut entre chaque terme (le nombre de boutons dans la figure, par exemple).

On voit à l'exemple précédent que le nombre de boutons passe de 5 à 9 à 13. On observe donc des sauts de 4 à chaque terme. Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute 4 à chaque fois. Ainsi, pour obtenir le nombre de boutons de la 6e figure, on ajoute au premier terme 5 (le nombre de boutons de la première figure) +4 +4 +4 +4 +4, pour obtenir 25.

Le mathématicien est un être plutôt paresseux (mais curieux!). Il n'a pas envie d'additionner ad nauseam (oui, j'aime le latin!) et il constate qu'une addition répétée est une... multiplication! Il se dit : «Je vais trouver une formule qui multiplie le numéro de la figure par un nombre et qui ressemblera à ceci :

Or, je constate que si je multiplie le rang par mon saut de puce (ici, 4xn), je me rapproche du nombre de boutons de la figure désirée. J'ai donc trouvé le nombre remplaçant le , c'est 4 »

Il a raison, bien sûr, mais il n'a pas fini de trouver la règle. On voit dans le tableau ci-dessous qu'il manque toujours un petit quelque chose pour trouver le nombre exact de boutons. On doit toujours rajouter 1. Ce sera le nombre remplaçant le .

La règle de la suite de boutons est donc 4 x n + 1, ou plus simplement 4n + 1.